Este trabajo describe la cuantización del campo electromagnético para fines de la óptica cuántica, junto con dos temas específicos relacionados a dicha área. Particularmente, describe a detalle la estructura analítica del operador de aniquilación, para el cual se muestra la existencia de un bloque de Jordan infinito con valor propio igual a cada número complejo, y se estudian a las cuadraturas en espacios de número de fotones finito.

El capítulo 2 revisa el proceso de cuantización del campo electromagnético en regiones libres de carga, desde las ecuaciones de Maxwell hasta la formulación cuántica de la dinámica de cada modo normal del campo. Se utiliza un proceso formal que no depende de la solución clásica y, al no haber cargas, se evita toda referencia a los potenciales electromagnéticos. Así, se presenta una formulación hamiltoniana de la dinámica del campo, y su cuantización conforme al principio de cuantización canónica, puramente en términos de los campos eléctrico y magnético, $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$.

Este enfoque difiere del presentado en algunos libros de texto de óptica cuántica [21,50] en que se trata a las componentes de Fourier del campo como cantidades complejas desde el inicio -- como deben de ser -- pero se cuantiza directamente con los campos, evitando las complicaciones que surgen si se consideran cargas y se cuantiza con potenciales [9,31]. La esperanza es dar una presentación clara y completa de la cuantización del campo -- salvo su interacción con la materia -- accesible a estudiantes con conocimientos básicos de mecánica analítica y cuántica.

El capítulo 3 se enfoca en la estructura matemática de la descripción cuántica de un único modo normal del campo, derivando todos los resultados a partir de la relación de conmutación canónica $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$. La primera parte del capítulo recoge resultados conocidos: en particular, el teorema de unicidad de von Neumann [57], que se presenta en libros de texto [8, 15, 35, 36] salvo por el tratamiento de la degeneración en $\hat{x}$, y algunos resultados estándar sobre el oscilador armónico cuántico.

Después de eso, se construyen los estados coherentes del oscilador armónico como estados propios del operador de aniquilación, y se generalizan a una sucesión de vectores propios generalizados, en el sentido de un bloque de Jordan, para cada valor propio complejo. Posteriormente se estudian las propiedades analíticas de estos estados coherentes generalizados, incluyendo sus productos internos, relaciones de completez, y evolución temporal, y se demuestra que coinciden con una clase de estados, los estados de número desplazados, ya conocidos en la literatura.

En el capítulo 4 se estudian a las cuadraturas -- es decir, la posición de un oscilador armónico, o el campo eléctrico o magnético de un modo normal del campo -- cuando se les restringe a espacios con un número finito de fotones. Se estudia su espectro y se presenta una solución bastante elegante para su diagonalización.

En particular, se demuestra que su polinomio característico es -- salvo por constantes -- igual a un polinomio de Hermite, y que dichos polinomios juegan un papel crucial al encontrar los vectores propios. Se relaciona este procedimiento con formalismos más generales y se estudia la forma exacta en que este operador y su espectro se acercan a la forma del operador completo (la cuadratura sin restringir) cuando tiende a infinito el número de fotones accesibles.

Finalmente, se incluyen dos apéndices. Uno incluye la derivación del producto interno más general entre estados coherentes generalizados, que se presenta aparte por consistir en cálculos largos y que no revelan nada particularmente nuevo sobre las estructuras en juego.

Un segundo apéndice contiene los resultados más importantes utilizados en la construcción de los estados coherentes generalizados, y se incluye para ayudar al lector a navegar las partes más técnicas de dicha construcción.